Atrisiniet x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Atrast x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$x+2y=-1$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-2y-1$$

Ar -2y-1 aizvietojiet x otrā vienādojumā 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Reiziniet 2 reiz -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Pieskaitiet -4y pie -3y.

$$-7y-2=12$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$-7y=14$$

Daliet abas puses ar -7.

$$y=-2$$

Aizvietojiet y ar -2 vienādojumā x=-2y-1. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Reiziniet -2 reiz -2.

$$x=4-1$$

Pieskaitiet -1 pie 4.

$$x=3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=3,y=-2$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=3,y=-2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Lai vienādotu x un 2x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 2, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Vienkāršojiet.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Atņemiet 2x-3y=12 no 2x+4y=-2 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Pieskaitiet 2x pie -2x. Locekļus 2x un -2x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$4y+3y=-2-12$$

Pieskaitiet 4y pie 3y.

$$7y=-2-12$$

Pieskaitiet -2 pie -12.

$$7y=-14$$

Daliet abas puses ar 7.

$$y=-2$$

Aizvietojiet y ar -2 vienādojumā 2x-3y=12. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Reiziniet -3 reiz -2.

$$2x+6=12$$

Atņemiet 6 no vienādojuma abām pusēm.

$$2x=6$$

Daliet abas puses ar 2.

$$x=3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=3,y=-2$$