Atrisiniet x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Atrast x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6, kas ir mazākais 2,3 skaitlis, kurš dalās bez atlikuma.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 3 ar 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Savelciet 6x un 9x, lai iegūtu 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -2 ar x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Savelciet 15x un -2x, lai iegūtu 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Saskaitiet 3 un 4, lai iegūtu 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Atņemiet 6x^{2} no abām pusēm.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Pievienot 12 abās pusēs.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Saskaitiet 7 un 12, lai iegūtu 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā -6x^{2}+ax+bx+19. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība, nekā tas ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 13.

$$a=19 b=-6$$

Pārrakstiet -6x^{2}+13x+19 kā \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju -x pirmajā grupā, bet -1 otrajā grupā.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 6x-19, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 6x-19=0 un -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6, kas ir mazākais 2,3 skaitlis, kurš dalās bez atlikuma.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 3 ar 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Savelciet 6x un 9x, lai iegūtu 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -2 ar x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Savelciet 15x un -2x, lai iegūtu 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Saskaitiet 3 un 4, lai iegūtu 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Atņemiet 6x^{2} no abām pusēm.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Pievienot 12 abās pusēs.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Saskaitiet 7 un 12, lai iegūtu 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -6, b ar 13 un c ar 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kāpiniet 13 kvadrātā.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Reiziniet 24 reiz 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Pieskaitiet 169 pie 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-13±25}{-12}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -13 pie 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Daliet 12 ar -12.

$$x=-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-13±25}{-12}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 25 no -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-38}{-12} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6, kas ir mazākais 2,3 skaitlis, kurš dalās bez atlikuma.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 3 ar 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Savelciet 6x un 9x, lai iegūtu 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu -2 ar x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Savelciet 15x un -2x, lai iegūtu 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Saskaitiet 3 un 4, lai iegūtu 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Atņemiet 6x^{2} no abām pusēm.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Atņemiet 7 no abām pusēm.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Atņemiet 7 no -12, lai iegūtu -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Daliet abas puses ar -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Dalīšana ar -6 atsauc reizināšanu ar -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Daliet 13 ar -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Daliet -19 ar -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{13}{6} ar 2, lai iegūtu -\frac{13}{12}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{13}{12} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{13}{12}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Pieskaitiet \frac{19}{6} pie \frac{169}{144}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Pieskaitiet \frac{13}{12} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$