Atrisiniet r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Atrast r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -22 un c ar -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kāpiniet -22 kvadrātā.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Pieskaitiet 484 pie 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Skaitļa -22 pretstats ir 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 22 pie 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Daliet 22+16\sqrt{2} ar 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Tagad atrisiniet vienādojumu r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 16\sqrt{2} no 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Daliet 22-16\sqrt{2} ar 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Pieskaitiet 7 abās vienādojuma pusēs.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Atņemot -7 no sevis, paliek 0.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Atņemiet -7 no 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Daliet locekļa x koeficientu -22 ar 2, lai iegūtu -11. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -11 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Kāpiniet -11 kvadrātā.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Pieskaitiet 7 pie 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Sadaliet reizinātājos r^{2}-22r+121. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Vienkāršojiet.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Pieskaitiet 11 abās vienādojuma pusēs.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$