Atrisiniet n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Atrast n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet reizinātājos n^{2}-n-210, izmantojot formulu n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -1.

$$a=-15 b=14$$

Pārrakstiet reizinātājos sadalīto izteiksmi \left(n+a\right)\left(n+b\right), izmantojot iegūtās vērtības.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet n-15=0 un n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā n^{2}+an+bn-210. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -1.

$$a=-15 b=14$$

Pārrakstiet n^{2}-n-210 kā \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju n pirmajā grupā, bet 14 otrajā grupā.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli n-15, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet n-15=0 un n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$n^{2}-n-210=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -1 un c ar -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Reiziniet -4 reiz -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Pieskaitiet 1 pie 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Skaitļa -1 pretstats ir 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{1±29}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 1 pie 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Daliet 30 ar 2.

$$n=15$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{1±29}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 29 no 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Daliet -28 ar 2.

$$n=-14$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=15 n=-14$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Pieskaitiet 210 abās vienādojuma pusēs.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Atņemot -210 no sevis, paliek 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Atņemiet -210 no 0.

$$n^{2}-n=210$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Pieskaitiet 210 pie \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}-n+\frac{1}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$n=15 n=-14$$