Atrisiniet n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Atrast n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Aprēķiniet 2009 pakāpē 2 un iegūstiet 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -4019 un c ar 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Lai reizinājums būtu ≤0, vienai no vērtībām n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} un n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ir jābūt ≥0, bet otrai ir jābūt ≤0. Apsveriet gadījumu, kad n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 un n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Tas ir aplami jebkuram n.

$$n\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kad n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 un n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$