Atrisiniet n^2-sqrt{3}n+1=0

$$n ^ { 2 } - \sqrt { 3 } n + 1 = 0$$

Atrast n

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\approx 0,866025404+0,5i$$

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\approx 0,866025404-0,5i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Pārkārtojiet locekļus.

$$n^{2}-\sqrt{3}n+1=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 1, b ar -\sqrt{3} un c ar 1.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}-4}}{2}$$

Kāpiniet -\sqrt{3} kvadrātā.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{3-4}}{2}$$

Pieskaitiet 3 pie -4.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{-1}}{2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -1.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±i}{2}$$

Skaitļa -\sqrt{3} pretstats ir \sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet \sqrt{3} pie i.

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

Daliet \sqrt{3}+i ar 2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet i no \sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}$$

Daliet \sqrt{3}-i ar 2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$n^{2}-\sqrt{3}n=-1$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n=-1$$

Daliet locekļa x koeficientu -\sqrt{3} ar 2, lai iegūtu -\frac{\sqrt{3}}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{\sqrt{3}}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet -\frac{\sqrt{3}}{2} kvadrātā.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-1+\frac{3}{4}$$

Pieskaitiet -1 pie \frac{3}{4}.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$n-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}i n-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Pieskaitiet \frac{\sqrt{3}}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$