Atrisiniet a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Atrast a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Lai atrisinātu nevienādību, sadaliet reizinātājos kreiso pusi. Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Visus formas ax^{2}+bx+c=0 vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātsaknes formulu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Kvadrātsaknes formulā aizstājiet a ar 1, b ar -68 un c ar 225.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Veiciet aprēķinus.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Atrisiniet vienādojumu a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}, ja ± ir pluss un ± ir mīnuss.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Pārrakstiet nevienādību, izmantojot iegūtos risinājumus.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

Lai reizinājums būtu ≤0, vienai no vērtībām a-\left(7\sqrt{19}+34\right) un a-\left(34-7\sqrt{19}\right) ir jābūt ≥0, bet otrai ir jābūt ≤0. Apsveriet gadījumu, kad a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 un a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Tas ir aplami jebkuram a.

$$a\in \emptyset$$

Apsveriet gadījumu, kad a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 un a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Risinājums, kas apmierina abas nevienādības, ir a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Galīgais risinājums ir iegūto risinājumu apvienojums.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$