Atrisiniet 99lambda^2+42lambda-7=0

$$99 \lambda ^ { 2 } + 42 \lambda - 7 = 0$$

Atrast λ

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}\approx 0,128029459$$

$$\lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}\approx -0,552271884$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 99, b ar 42 un c ar -7.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 99\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Kāpiniet 42 kvadrātā.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 99\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Reiziniet -4 reiz 99.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764-396\left(-7\right)}}{2\times 99}$$

Reiziniet -396 reiz -7.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{1764+2772}}{2\times 99}$$

Pieskaitiet 1764 pie 2772.

$$\lambda =\frac{-42±\sqrt{4536}}{2\times 99}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4536.

$$\lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{2\times 99}$$

Reiziniet 2 reiz 99.

$$\lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu \lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -42 pie 18\sqrt{14}.

$$\lambda =\frac{18\sqrt{14}-42}{198}$$

Daliet -42+18\sqrt{14} ar 198.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu \lambda =\frac{-42±18\sqrt{14}}{198}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 18\sqrt{14} no -42.

$$\lambda =\frac{-18\sqrt{14}-42}{198}$$

Daliet -42-18\sqrt{14} ar 198.

$$\lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33} \lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7=0$$

Pieskaitiet 7 abās vienādojuma pusēs.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda -7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Atņemot -7 no sevis, paliek 0.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda =-\left(-7\right)$$

Atņemiet -7 no 0.

$$99\lambda ^{2}+42\lambda =7$$

Daliet abas puses ar 99.

$$\frac{99\lambda ^{2}+42\lambda }{99}=\frac{7}{99}$$

Dalīšana ar 99 atsauc reizināšanu ar 99.

$$\lambda ^{2}+\frac{42}{99}\lambda =\frac{7}{99}$$

Vienādot daļskaitli \frac{42}{99} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda =\frac{7}{99}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{14}{33} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{33}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{33} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\left(\frac{7}{33}\right)^{2}=\frac{7}{99}+\left(\frac{7}{33}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{33}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}=\frac{7}{99}+\frac{49}{1089}$$

Pieskaitiet \frac{7}{99} pie \frac{49}{1089}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$\lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}=\frac{14}{121}$$

Sadaliet reizinātājos \lambda ^{2}+\frac{14}{33}\lambda +\frac{49}{1089}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(\lambda +\frac{7}{33}\right)^{2}=\frac{14}{121}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(\lambda +\frac{7}{33}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{14}{121}}$$

Vienkāršojiet.

$$\lambda +\frac{7}{33}=\frac{\sqrt{14}}{11} \lambda +\frac{7}{33}=-\frac{\sqrt{14}}{11}$$

Atņemiet \frac{7}{33} no vienādojuma abām pusēm.

$$\lambda =\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33} \lambda =-\frac{\sqrt{14}}{11}-\frac{7}{33}$$