Atrisiniet 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Atrast n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 3n^{2} no abām pusēm.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Savelciet 9n^{2} un -3n^{2}, lai iegūtu 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 6n^{2}+an+bn+20. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -23.

$$a=-15 b=-8$$

Pārrakstiet 6n^{2}-23n+20 kā \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 3n pirmajā grupā, bet -4 otrajā grupā.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 2n-5, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2n-5=0 un 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 3n^{2} no abām pusēm.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Savelciet 9n^{2} un -3n^{2}, lai iegūtu 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 6, b ar -23 un c ar 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Kāpiniet -23 kvadrātā.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Reiziniet -4 reiz 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Reiziniet -24 reiz 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Pieskaitiet 529 pie -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Skaitļa -23 pretstats ir 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Reiziniet 2 reiz 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{23±7}{12}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 23 pie 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Vienādot daļskaitli \frac{30}{12} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu n=\frac{23±7}{12}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 7 no 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Vienādot daļskaitli \frac{16}{12} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 3n^{2} no abām pusēm.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Savelciet 9n^{2} un -3n^{2}, lai iegūtu 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Atņemiet 20 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Daliet abas puses ar 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Dalīšana ar 6 atsauc reizināšanu ar 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-20}{6} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{23}{6} ar 2, lai iegūtu -\frac{23}{12}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{23}{12} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{23}{12}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Pieskaitiet -\frac{10}{3} pie \frac{529}{144}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Sadaliet reizinātājos n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Vienkāršojiet.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Pieskaitiet \frac{23}{12} abās vienādojuma pusēs.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$