Atrisiniet 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 84, b ar 4\sqrt{3} un c ar 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Kāpiniet 4\sqrt{3} kvadrātā.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Reiziniet -4 reiz 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Reiziniet -336 reiz 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Pieskaitiet 48 pie -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Reiziniet 2 reiz 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -4\sqrt{3} pie 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Daliet -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} ar 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 8i\sqrt{15} no -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Daliet -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} ar 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Atņemiet 3 no vienādojuma abām pusēm.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Atņemot 3 no sevis, paliek 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Daliet abas puses ar 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Dalīšana ar 84 atsauc reizināšanu ar 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Daliet 4\sqrt{3} ar 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-3}{84} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{\sqrt{3}}{21} ar 2, lai iegūtu \frac{\sqrt{3}}{42}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{\sqrt{3}}{42} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Kāpiniet \frac{\sqrt{3}}{42} kvadrātā.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{28} pie \frac{1}{588}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Atņemiet \frac{\sqrt{3}}{42} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$