Atrisiniet 80x^2+23x-15

$$80 { x }^{ 2 } +23x-15$$

Sadalīt reizinātājos

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Atrisinājuma darbības

Sadaliet izteiksmi reizinātājos, izmantojot grupēšanu. Vispirms izteiksme ir jāpārraksta kā 80x^{2}+ax+bx-15. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=23 ab=80\left(-15\right)=-1200$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -1200.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 23.

$$a=-25 b=48$$

Pārrakstiet 80x^{2}+23x-15 kā \left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right).

$$\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right)$$

Sadaliet 5x pirmo un 3 otrajā grupā.

$$5x\left(16x-5\right)+3\left(16x-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 16x-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$80x^{2}+23x-15=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Kāpiniet 23 kvadrātā.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Reiziniet -4 reiz 80.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-320\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

Reiziniet -320 reiz -15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+4800}}{2\times 80}$$

Pieskaitiet 529 pie 4800.

$$x=\frac{-23±\sqrt{5329}}{2\times 80}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 5329.

$$x=\frac{-23±73}{2\times 80}$$

Reiziniet 2 reiz 80.

$$x=\frac{-23±73}{160}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-23±73}{160}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -23 pie 73.

$$x=\frac{50}{160}$$

Vienādot daļskaitli \frac{50}{160} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$x=\frac{5}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-23±73}{160}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 73 no -23.

$$x=-\frac{96}{160}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-96}{160} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 32.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Sadaliet sākotnējo izteiksmi, izmantojot ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Aizvietojiet \frac{5}{16} ar x_{1} un -\frac{3}{5} ar x_{2}.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Vienkāršojiet visas formas p-\left(-q\right) izteiksmes uz p+q.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Atņemiet \frac{5}{16} no x, atrodot kopsaucēju un atņemot skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Pieskaitiet \frac{3}{5} pie x, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\times \frac{5x+3}{5}$$

Reiziniet \frac{16x-5}{16} ar \frac{5x+3}{5}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{16\times 5}$$

Reiziniet 16 reiz 5.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{80}$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 80 šeit: 80 un 80.

$$80x^{2}+23x-15=\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Izrēķināt

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$