Atrisiniet 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Atrast x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 8x^{2}+ax+bx-7. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība, nekā tas ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 10.

$$a=-4 b=14$$

Pārrakstiet 8x^{2}+10x-7 kā \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 4x pirmajā grupā, bet 7 otrajā grupā.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 2x-1, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-1=0 un 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 8, b ar 10 un c ar -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Kāpiniet 10 kvadrātā.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Reiziniet -4 reiz 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Reiziniet -32 reiz -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Pieskaitiet 100 pie 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Reiziniet 2 reiz 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±18}{16}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -10 pie 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{8}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-10±18}{16}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 18 no -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-28}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Pieskaitiet 7 abās vienādojuma pusēs.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Atņemot -7 no sevis, paliek 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Atņemiet -7 no 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Daliet abas puses ar 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Dalīšana ar 8 atsauc reizināšanu ar 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{10}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{5}{4} ar 2, lai iegūtu \frac{5}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{5}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{5}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Pieskaitiet \frac{7}{8} pie \frac{25}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Atņemiet \frac{5}{8} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$