Atrisiniet 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Sadalīt reizinātājos

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Atrisinājuma darbības

Sadaliet izteiksmi reizinātājos, izmantojot grupēšanu. Vispirms izteiksme ir jāpārraksta kā 8x^{2}+ax+bx-15. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -14.

$$a=-20 b=6$$

Pārrakstiet 8x^{2}-14x-15 kā \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Sadaliet 4x pirmo un 3 otrajā grupā.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-5 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Kvadrātisko polinomu var sadalīt reizinātājos, izmantojot transformāciju ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kur x_{1} un x_{2} ir kvadrātsaknes vienādojuma ax^{2}+bx+c=0 risinājumi.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Kāpiniet -14 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Reiziniet -4 reiz 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Reiziniet -32 reiz -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Pieskaitiet 196 pie 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Skaitļa -14 pretstats ir 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Reiziniet 2 reiz 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{14±26}{16}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 14 pie 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{40}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{14±26}{16}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 26 no 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-12}{16} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Sadaliet sākotnējo izteiksmi, izmantojot ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Aizvietojiet \frac{5}{2} ar x_{1} un -\frac{3}{4} ar x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Vienkāršojiet visas formas p-\left(-q\right) izteiksmes uz p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Atņemiet \frac{5}{2} no x, atrodot kopsaucēju un atņemot skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Pieskaitiet \frac{3}{4} pie x, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Reiziniet \frac{2x-5}{2} ar \frac{4x+3}{4}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Noīsiniet lielāko kopējo reizinātāju 8 šeit: 8 un 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Izrēķināt

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$