Atrisiniet 750x^2-85x+1=0

$$750 { x }^{ 2 } -85x+1=0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{75}\approx 0,013333333$$

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 750x^{2}+ax+bx+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-85 ab=750\times 1=750$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 750.

$$-1,-750 -2,-375 -3,-250 -5,-150 -6,-125 -10,-75 -15,-50 -25,-30$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-750=-751 -2-375=-377 -3-250=-253 -5-150=-155 -6-125=-131 -10-75=-85 -15-50=-65 -25-30=-55$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -85.

$$a=-75 b=-10$$

Pārrakstiet 750x^{2}-85x+1 kā \left(750x^{2}-75x\right)+\left(-10x+1\right).

$$\left(750x^{2}-75x\right)+\left(-10x+1\right)$$

Sadaliet 75x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$75x\left(10x-1\right)-\left(10x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 10x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(10x-1\right)\left(75x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 10x-1=0 un 75x-1=0.

$$x=\frac{1}{10} x=\frac{1}{75}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$750x^{2}-85x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 750, b ar -85 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{\left(-85\right)^{2}-4\times 750}}{2\times 750}$$

Kāpiniet -85 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-4\times 750}}{2\times 750}$$

Reiziniet -4 reiz 750.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{7225-3000}}{2\times 750}$$

Pieskaitiet 7225 pie -3000.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±\sqrt{4225}}{2\times 750}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4225.

$$x=\frac{-\left(-85\right)±65}{2\times 750}$$

Skaitļa -85 pretstats ir 85.

$$x=\frac{85±65}{2\times 750}$$

Reiziniet 2 reiz 750.

$$x=\frac{85±65}{1500}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{85±65}{1500}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 85 pie 65.

$$x=\frac{150}{1500}$$

Vienādot daļskaitli \frac{150}{1500} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 150.

$$x=\frac{1}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{85±65}{1500}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 65 no 85.

$$x=\frac{20}{1500}$$

Vienādot daļskaitli \frac{20}{1500} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 20.

$$x=\frac{1}{75}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{10} x=\frac{1}{75}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$750x^{2}-85x+1=0$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$750x^{2}-85x+1-1=-1$$

Atņemot 1 no sevis, paliek 0.

$$750x^{2}-85x=-1$$

Daliet abas puses ar 750.

$$\frac{750x^{2}-85x}{750}=-\frac{1}{750}$$

Dalīšana ar 750 atsauc reizināšanu ar 750.

$$x^{2}+\left(-\frac{85}{750}\right)x=-\frac{1}{750}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-85}{750} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}-\frac{17}{150}x=-\frac{1}{750}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{17}{150} ar 2, lai iegūtu -\frac{17}{300}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{17}{300} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{17}{150}x+\left(-\frac{17}{300}\right)^{2}=-\frac{1}{750}+\left(-\frac{17}{300}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{17}{300}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{17}{150}x+\frac{289}{90000}=-\frac{1}{750}+\frac{289}{90000}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{750} pie \frac{289}{90000}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{17}{150}x+\frac{289}{90000}=\frac{169}{90000}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{17}{150}x+\frac{289}{90000}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{300}\right)^{2}=\frac{169}{90000}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{300}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{90000}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{17}{300}=\frac{13}{300} x-\frac{17}{300}=-\frac{13}{300}$$

Pieskaitiet \frac{17}{300} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{1}{10} x=\frac{1}{75}$$