Atrisiniet 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 15x^{2}+ax+bx-2. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=-3 b=10$$

Pārrakstiet 15x^{2}+7x-2 kā \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Sadaliet 3x pirmo un 2 otrajā grupā.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 5x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 5x-1=0 un 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 75, b ar 35 un c ar -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Kāpiniet 35 kvadrātā.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Reiziniet -4 reiz 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Reiziniet -300 reiz -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Pieskaitiet 1225 pie 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Reiziniet 2 reiz 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-35±65}{150}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -35 pie 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Vienādot daļskaitli \frac{30}{150} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-35±65}{150}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 65 no -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-100}{150} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Pieskaitiet 10 abās vienādojuma pusēs.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Atņemot -10 no sevis, paliek 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Atņemiet -10 no 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Daliet abas puses ar 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Dalīšana ar 75 atsauc reizināšanu ar 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Vienādot daļskaitli \frac{35}{75} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Vienādot daļskaitli \frac{10}{75} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{7}{15} ar 2, lai iegūtu \frac{7}{30}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{7}{30} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{7}{30}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Pieskaitiet \frac{2}{15} pie \frac{49}{900}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Atņemiet \frac{7}{30} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$