Atrisiniet 75x^2-766x+80=0

$$75 { x }^{ 2 } -766x+80=0$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{140689} + 383}{75} \approx 10,107804315$$

$$x=\frac{383-\sqrt{140689}}{75}\approx 0,105529018$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$75x^{2}-766x+80=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 75, b ar -766 un c ar 80.

$$x=\frac{-\left(-766\right)±\sqrt{\left(-766\right)^{2}-4\times 75\times 80}}{2\times 75}$$

Kāpiniet -766 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-766\right)±\sqrt{586756-4\times 75\times 80}}{2\times 75}$$

Reiziniet -4 reiz 75.

$$x=\frac{-\left(-766\right)±\sqrt{586756-300\times 80}}{2\times 75}$$

Reiziniet -300 reiz 80.

$$x=\frac{-\left(-766\right)±\sqrt{586756-24000}}{2\times 75}$$

Pieskaitiet 586756 pie -24000.

$$x=\frac{-\left(-766\right)±\sqrt{562756}}{2\times 75}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 562756.

$$x=\frac{-\left(-766\right)±2\sqrt{140689}}{2\times 75}$$

Skaitļa -766 pretstats ir 766.

$$x=\frac{766±2\sqrt{140689}}{2\times 75}$$

Reiziniet 2 reiz 75.

$$x=\frac{766±2\sqrt{140689}}{150}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{766±2\sqrt{140689}}{150}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 766 pie 2\sqrt{140689}.

$$x=\frac{2\sqrt{140689}+766}{150}$$

Daliet 766+2\sqrt{140689} ar 150.

$$x=\frac{\sqrt{140689}+383}{75}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{766±2\sqrt{140689}}{150}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{140689} no 766.

$$x=\frac{766-2\sqrt{140689}}{150}$$

Daliet 766-2\sqrt{140689} ar 150.

$$x=\frac{383-\sqrt{140689}}{75}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{140689}+383}{75} x=\frac{383-\sqrt{140689}}{75}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}-766x+80=0$$

Atņemiet 80 no vienādojuma abām pusēm.

$$75x^{2}-766x+80-80=-80$$

Atņemot 80 no sevis, paliek 0.

$$75x^{2}-766x=-80$$

Daliet abas puses ar 75.

$$\frac{75x^{2}-766x}{75}=-\frac{80}{75}$$

Dalīšana ar 75 atsauc reizināšanu ar 75.

$$x^{2}-\frac{766}{75}x=-\frac{80}{75}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-80}{75} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 5.

$$x^{2}-\frac{766}{75}x=-\frac{16}{15}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{766}{75} ar 2, lai iegūtu -\frac{383}{75}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{383}{75} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{766}{75}x+\left(-\frac{383}{75}\right)^{2}=-\frac{16}{15}+\left(-\frac{383}{75}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{383}{75}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{766}{75}x+\frac{146689}{5625}=-\frac{16}{15}+\frac{146689}{5625}$$

Pieskaitiet -\frac{16}{15} pie \frac{146689}{5625}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{766}{75}x+\frac{146689}{5625}=\frac{140689}{5625}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{766}{75}x+\frac{146689}{5625}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{383}{75}\right)^{2}=\frac{140689}{5625}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{383}{75}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{140689}{5625}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{383}{75}=\frac{\sqrt{140689}}{75} x-\frac{383}{75}=-\frac{\sqrt{140689}}{75}$$

Pieskaitiet \frac{383}{75} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{140689}+383}{75} x=\frac{383-\sqrt{140689}}{75}$$