Atrisiniet 7x-y=-6text{and}x-y=0

$$7 x - y = - 6 \text { and } x - y = 0$$

Atrast x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$7x-y=-6$$

Pieskaitiet y abās vienādojuma pusēs.

$$7x=y-6$$

Daliet abas puses ar 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

Reiziniet \frac{1}{7} reiz y-6.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

Ar \frac{-6+y}{7} aizvietojiet x otrā vienādojumā x-y=0.

$$\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}-y=0$$

Pieskaitiet \frac{y}{7} pie -y.

$$-\frac{6}{7}y-\frac{6}{7}=0$$

Pieskaitiet \frac{6}{7} abās vienādojuma pusēs.

$$-\frac{6}{7}y=\frac{6}{7}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{6}{7}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=-1$$

Aizvietojiet y ar -1 vienādojumā x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{1}{7}\left(-1\right)-\frac{6}{7}$$

Reiziniet \frac{1}{7} reiz -1.

$$x=\frac{-1-6}{7}$$

Pieskaitiet -\frac{6}{7} pie -\frac{1}{7}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=-1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)\\\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-1,y=-1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Atņemiet x-y=0 no 7x-y=-6 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$7x-x-y+y=-6$$

Pieskaitiet -y pie y. Locekļus -y un y saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$7x-x=-6$$

Pieskaitiet 7x pie -x.

$$6x=-6$$

Daliet abas puses ar 6.

$$x=-1$$

Aizvietojiet x ar -1 vienādojumā x-y=0. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt y.

$$-1-y=0$$

Pieskaitiet 1 abās vienādojuma pusēs.

$$-y=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=-1$$