Atrisiniet 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Atrast x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$7x-15y-2=0$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$7x-15y=2$$

Pieskaitiet 15y abās vienādojuma pusēs.

$$7x=15y+2$$

Daliet abas puses ar 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Reiziniet \frac{1}{7} reiz 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Ar \frac{15y+2}{7} aizvietojiet x otrā vienādojumā x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Pieskaitiet \frac{15y}{7} pie 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Atņemiet \frac{2}{7} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{29}{7}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=\frac{19}{29}$$

Aizvietojiet y ar \frac{19}{29} vienādojumā x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Reiziniet \frac{15}{7} ar \frac{19}{29}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Pieskaitiet \frac{2}{7} pie \frac{285}{203}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Lai vienādotu 7x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Vienkāršojiet.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Atņemiet 7x+14y=21 no 7x-15y-2=0 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Pieskaitiet 7x pie -7x. Locekļus 7x un -7x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-15y-14y-2=-21$$

Pieskaitiet -15y pie -14y.

$$-29y-2=-21$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$-29y=-19$$

Daliet abas puses ar -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Aizvietojiet y ar \frac{19}{29} vienādojumā x+2y=3. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Reiziniet 2 reiz \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Atņemiet \frac{38}{29} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$