Atrisiniet 64x^2+32x=-4

$$64 x ^ { 2 } + 32 x = - 4$$

Atrast x

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Pievienot 4 abās pusēs.

$$64x^{2}+32x+4=0$$

Daliet abas puses ar 4.

$$16x^{2}+8x+1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 16x^{2}+ax+bx+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=8 ab=16\times 1=16$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir pozitīvs, a un b ir pozitīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 8.

$$a=4 b=4$$

Pārrakstiet 16x^{2}+8x+1 kā \left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right).

$$\left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right)$$

Iznesiet reizinātāju 4x pirms iekavām izteiksmē 16x^{2}+4x.

$$4x\left(4x+1\right)+4x+1$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 4x+1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet 4x+1=0.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$64x^{2}+32x=-4$$

Pieskaitiet 4 abās vienādojuma pusēs.

$$64x^{2}+32x-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Atņemot -4 no sevis, paliek 0.

$$64x^{2}+32x-\left(-4\right)=0$$

Atņemiet -4 no 0.

$$64x^{2}+32x+4=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 64, b ar 32 un c ar 4.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 64\times 4}}{2\times 64}$$

Kāpiniet 32 kvadrātā.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 64\times 4}}{2\times 64}$$

Reiziniet -4 reiz 64.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-256\times 4}}{2\times 64}$$

Reiziniet -256 reiz 4.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-1024}}{2\times 64}$$

Pieskaitiet 1024 pie -1024.

$$x=\frac{-32±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$x=-\frac{32}{2\times 64}$$

Reiziniet 2 reiz 64.

$$x=-\frac{32}{128}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-32}{128} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 32.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+32x=-4$$

Daliet abas puses ar 64.

$$\frac{64x^{2}+32x}{64}=-\frac{4}{64}$$

Dalīšana ar 64 atsauc reizināšanu ar 64.

$$x^{2}+\frac{32}{64}x=-\frac{4}{64}$$

Vienādot daļskaitli \frac{32}{64} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 32.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{4}{64}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-4}{64} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{16}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{1}{2} ar 2, lai iegūtu \frac{1}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{1}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{1}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{-1+1}{16}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{16} pie \frac{1}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=0$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{1}{4}=0 x+\frac{1}{4}=0$$

Atņemiet \frac{1}{4} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=-\frac{1}{4} x=-\frac{1}{4}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$x=-\frac{1}{4}$$