Atrisiniet 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Atrast x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -5,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6x\left(x+5\right), kas ir mazākais x,x+5,6 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Savelciet 6x un 6x, lai iegūtu 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Atņemiet 5x no abām pusēm.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Savelciet 12x un -5x, lai iegūtu 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā -x^{2}+ax+bx+30. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 7.

$$a=10 b=-3$$

Pārrakstiet -x^{2}+7x+30 kā \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Sadaliet -x pirmo un -3 otrajā grupā.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-10 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-10=0 un -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Daliet abas puses ar 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -5,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6x\left(x+5\right), kas ir mazākais x,x+5,6 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Savelciet 6x un 6x, lai iegūtu 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Atņemiet 5x no abām pusēm.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Savelciet 12x un -5x, lai iegūtu 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar -1, b ar 7 un c ar 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet -4 reiz -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 4 reiz 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Pieskaitiet 49 pie 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Reiziniet 2 reiz -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±13}{-2}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -7 pie 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Daliet 6 ar -2.

$$x=-3$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-7±13}{-2}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 13 no -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Daliet -20 ar -2.

$$x=10$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=-3 x=10$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Daliet abas puses ar 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

Mainīgais x nevar būt vienāds ar jebkuru no vērtībām -5,0, jo dalīšana ar nulli nav definēta. Reiziniet abas vienādojuma puses ar 6x\left(x+5\right), kas ir mazākais x,x+5,6 skaitlis, kas dalās bez atlikuma.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Savelciet 6x un 6x, lai iegūtu 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu x ar x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Atņemiet x^{2} no abām pusēm.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Atņemiet 5x no abām pusēm.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Savelciet 12x un -5x, lai iegūtu 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Atņemiet 30 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$7x-x^{2}=-30$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Daliet abas puses ar -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Dalīšana ar -1 atsauc reizināšanu ar -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Daliet 7 ar -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Daliet -30 ar -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Daliet locekļa x koeficientu -7 ar 2, lai iegūtu -\frac{7}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{7}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{7}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Pieskaitiet 30 pie \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Pieskaitiet \frac{7}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=10 x=-3$$