Atrisiniet 6x^2+2x-7=4x^2+3x+8

$$6 x ^ { 2 } + 2 x - 7 = 4 x ^ { 2 } + 3 x + 8$$

Atrast x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$6x^{2}+2x-7-4x^{2}=3x+8$$

Savelciet 6x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x-7=3x+8$$

Atņemiet 3x no abām pusēm.

$$2x^{2}+2x-7-3x=8$$

Savelciet 2x un -3x, lai iegūtu -x.

$$2x^{2}-x-7=8$$

Atņemiet 8 no abām pusēm.

$$2x^{2}-x-7-8=0$$

Atņemiet 8 no -7, lai iegūtu -15.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 2x^{2}+ax+bx-15. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -1.

$$a=-6 b=5$$

Pārrakstiet 2x^{2}-x-15 kā \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Sadaliet 2x pirmo un 5 otrajā grupā.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-3 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-3=0 un 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$6x^{2}+2x-7-4x^{2}=3x+8$$

Savelciet 6x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x-7=3x+8$$

Atņemiet 3x no abām pusēm.

$$2x^{2}+2x-7-3x=8$$

Savelciet 2x un -3x, lai iegūtu -x.

$$2x^{2}-x-7=8$$

Atņemiet 8 no abām pusēm.

$$2x^{2}-x-7-8=0$$

Atņemiet 8 no -7, lai iegūtu -15.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 2, b ar -1 un c ar -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -4 reiz 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Reiziniet -8 reiz -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Pieskaitiet 1 pie 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

Skaitļa -1 pretstats ir 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Reiziniet 2 reiz 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{1±11}{4}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 1 pie 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Daliet 12 ar 4.

$$x=3$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{1±11}{4}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 11 no 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-10}{4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 4x^{2} no abām pusēm.

$$6x^{2}+2x-7-4x^{2}=3x+8$$

Savelciet 6x^{2} un -4x^{2}, lai iegūtu 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x-7=3x+8$$

Atņemiet 3x no abām pusēm.

$$2x^{2}+2x-7-3x=8$$

Savelciet 2x un -3x, lai iegūtu -x.

$$2x^{2}-x-7=8$$

Pievienot 7 abās pusēs.

$$2x^{2}-x=8+7$$

Saskaitiet 8 un 7, lai iegūtu 15.

$$2x^{2}-x=15$$

Daliet abas puses ar 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Dalīšana ar 2 atsauc reizināšanu ar 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{1}{2} ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{4}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{4} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{4}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Pieskaitiet \frac{15}{2} pie \frac{1}{16}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Pieskaitiet \frac{1}{4} abās vienādojuma pusēs.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$