Atrisiniet 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 56x^{2}+ax+bx+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -30.

$$a=-28 b=-2$$

Pārrakstiet 56x^{2}-30x+1 kā \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Sadaliet 28x pirmo un -1 otrajā grupā.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 2x-1=0 un 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 56, b ar -30 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kāpiniet -30 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Reiziniet -4 reiz 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Pieskaitiet 900 pie -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Skaitļa -30 pretstats ir 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Reiziniet 2 reiz 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{30±26}{112}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 30 pie 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Vienādot daļskaitli \frac{56}{112} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{30±26}{112}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 26 no 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Vienādot daļskaitli \frac{4}{112} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Atņemot 1 no sevis, paliek 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Daliet abas puses ar 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Dalīšana ar 56 atsauc reizināšanu ar 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-30}{56} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{15}{28} ar 2, lai iegūtu -\frac{15}{56}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{15}{56} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{15}{56}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{56} pie \frac{225}{3136}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Pieskaitiet \frac{15}{56} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$