Atrisiniet 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 56, b ar -12 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Kāpiniet -12 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Reiziniet -4 reiz 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Pieskaitiet 144 pie -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Skaitļa -12 pretstats ir 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Reiziniet 2 reiz 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 12 pie 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Daliet 12+4i\sqrt{5} ar 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4i\sqrt{5} no 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Daliet 12-4i\sqrt{5} ar 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Atņemot 1 no sevis, paliek 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Daliet abas puses ar 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Dalīšana ar 56 atsauc reizināšanu ar 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-12}{56} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{3}{14} ar 2, lai iegūtu -\frac{3}{28}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{3}{28} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{3}{28}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{56} pie \frac{9}{784}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Pieskaitiet \frac{3}{28} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$