Atrisiniet 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Atrast x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Reiziniet 1+x un 1+x, lai iegūtu \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 54 ar 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Atņemiet 1215 no abām pusēm.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Atņemiet 1215 no 54, lai iegūtu -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 54, b ar 108 un c ar -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Kāpiniet 108 kvadrātā.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Reiziniet -4 reiz 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Reiziniet -216 reiz -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Pieskaitiet 11664 pie 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Reiziniet 2 reiz 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -108 pie 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Daliet -108+162\sqrt{10} ar 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 162\sqrt{10} no -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Daliet -108-162\sqrt{10} ar 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Reiziniet 1+x un 1+x, lai iegūtu \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Lietojiet Ņūtona binomu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, lai izvērstu \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 54 ar 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Atņemiet 54 no abām pusēm.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Atņemiet 54 no 1215, lai iegūtu 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Daliet abas puses ar 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Dalīšana ar 54 atsauc reizināšanu ar 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Daliet 108 ar 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Vienādot daļskaitli \frac{1161}{54} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu 2 ar 2, lai iegūtu 1. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 1 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Kāpiniet 1 kvadrātā.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Pieskaitiet \frac{43}{2} pie 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+2x+1. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$