Atrisiniet 5y+9y^2-4y^2+6(5y+9)y=-12

$$5 y + 9 y ^ { 2 } - 4 y ^ { 2 } + 6 ( 5 y + 9 ) y = - 12$$

Atrast y

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}\approx -0,236597281$$

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}\approx -1,449117005$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Savelciet 9y^{2} un -4y^{2}, lai iegūtu 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 6 ar 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 30y+54 ar y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Savelciet 5y^{2} un 30y^{2}, lai iegūtu 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Savelciet 5y un 54y, lai iegūtu 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Pievienot 12 abās pusēs.

$$59y+35y^{2}+12=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$35y^{2}+59y+12=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 35, b ar 59 un c ar 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Kāpiniet 59 kvadrātā.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-4\times 35\times 12}}{2\times 35}$$

Reiziniet -4 reiz 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-140\times 12}}{2\times 35}$$

Reiziniet -140 reiz 12.

$$y=\frac{-59±\sqrt{3481-1680}}{2\times 35}$$

Pieskaitiet 3481 pie -1680.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{2\times 35}$$

Reiziniet 2 reiz 35.

$$y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -59 pie \sqrt{1801}.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{-59±\sqrt{1801}}{70}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet \sqrt{1801} no -59.

$$y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Savelciet 9y^{2} un -4y^{2}, lai iegūtu 5y^{2}.

$$5y+5y^{2}+6\left(5y+9\right)y=-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 6 ar 5y+9.

$$5y+5y^{2}+\left(30y+54\right)y=-12$$

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 30y+54 ar y.

$$5y+5y^{2}+30y^{2}+54y=-12$$

Savelciet 5y^{2} un 30y^{2}, lai iegūtu 35y^{2}.

$$5y+35y^{2}+54y=-12$$

Savelciet 5y un 54y, lai iegūtu 59y.

$$59y+35y^{2}=-12$$

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$35y^{2}+59y=-12$$

Daliet abas puses ar 35.

$$\frac{35y^{2}+59y}{35}=-\frac{12}{35}$$

Dalīšana ar 35 atsauc reizināšanu ar 35.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y=-\frac{12}{35}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{59}{35} ar 2, lai iegūtu \frac{59}{70}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{59}{70} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}=-\frac{12}{35}+\left(\frac{59}{70}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{59}{70}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=-\frac{12}{35}+\frac{3481}{4900}$$

Pieskaitiet -\frac{12}{35} pie \frac{3481}{4900}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}=\frac{1801}{4900}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}+\frac{59}{35}y+\frac{3481}{4900}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}=\frac{1801}{4900}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y+\frac{59}{70}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1801}{4900}}$$

Vienkāršojiet.

$$y+\frac{59}{70}=\frac{\sqrt{1801}}{70} y+\frac{59}{70}=-\frac{\sqrt{1801}}{70}$$

Atņemiet \frac{59}{70} no vienādojuma abām pusēm.

$$y=\frac{\sqrt{1801}-59}{70} y=\frac{-\sqrt{1801}-59}{70}$$