Atrisiniet 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Atrast x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$5x-2y=1$$

Pieskaitiet 2y abās vienādojuma pusēs.

$$5x=2y+1$$

Daliet abas puses ar 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Reiziniet \frac{1}{5} reiz 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Ar \frac{2y+1}{5} aizvietojiet x otrā vienādojumā 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Reiziniet 3 reiz \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Pieskaitiet \frac{6y}{5} pie 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Atņemiet \frac{3}{5} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{31}{5}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Reiziniet \frac{2}{5} reiz 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Pieskaitiet \frac{1}{5} pie \frac{4}{5}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=1,y=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=1,y=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Lai vienādotu 5x un 3x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 3, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Vienkāršojiet.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Atņemiet 15x+25y=65 no 15x-6y=3 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Pieskaitiet 15x pie -15x. Locekļus 15x un -15x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-6y-25y=3-65$$

Pieskaitiet -6y pie -25y.

$$-31y=3-65$$

Pieskaitiet 3 pie -65.

$$-31y=-62$$

Daliet abas puses ar -31.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā 3x+5y=13. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$3x+5\times 2=13$$

Reiziniet 5 reiz 2.

$$3x+10=13$$

Atņemiet 10 no vienādojuma abām pusēm.

$$3x=3$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=1,y=2$$