Atrisiniet 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Atrast x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā x^{2}+ax+bx-15. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir pozitīvs, pozitīvam skaitlim ir lielāks absolūtā vērtība nekā negatīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -15.

$$-1,15 -3,5$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu 14.

$$a=-1 b=15$$

Pārrakstiet x^{2}+14x-15 kā \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Sadaliet x pirmo un 15 otrajā grupā.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-1=0 un x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar 70 un c ar -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Kāpiniet 70 kvadrātā.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 4900 pie 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-70±80}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -70 pie 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Daliet 10 ar 10.

$$x=1$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-70±80}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 80 no -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Daliet -150 ar 10.

$$x=-15$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=1 x=-15$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Pieskaitiet 75 abās vienādojuma pusēs.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Atņemot -75 no sevis, paliek 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Atņemiet -75 no 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Daliet 70 ar 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Daliet 75 ar 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Daliet locekļa x koeficientu 14 ar 2, lai iegūtu 7. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet 7 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Kāpiniet 7 kvadrātā.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Pieskaitiet 15 pie 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+14x+49. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Vienkāršojiet.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Atņemiet 7 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=1 x=-15$$