Atrisiniet 5x+2y=12text{and}3x-2y=4

$$5 x + 2 y = 12 \text { and } 3 x - 2 y = 4$$

Atrast x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$5x+2y=12$$

Atņemiet 2y no vienādojuma abām pusēm.

$$5x=-2y+12$$

Daliet abas puses ar 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+12\right)$$

Reiziniet \frac{1}{5} reiz -2y+12.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}$$

Ar \frac{-2y+12}{5} aizvietojiet x otrā vienādojumā 3x-2y=4.

$$3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}\right)-2y=4$$

Reiziniet 3 reiz \frac{-2y+12}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}-2y=4$$

Pieskaitiet -\frac{6y}{5} pie -2y.

$$-\frac{16}{5}y+\frac{36}{5}=4$$

Atņemiet \frac{36}{5} no vienādojuma abām pusēm.

$$-\frac{16}{5}y=-\frac{16}{5}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar -\frac{16}{5}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā x=-\frac{2}{5}y+\frac{12}{5}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{-2+12}{5}$$

Pieskaitiet \frac{12}{5} pie -\frac{2}{5}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=1$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 12+\frac{1}{8}\times 4\\\frac{3}{16}\times 12-\frac{5}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=2,y=1$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$5x+2y=12,3x-2y=4$$

Lai vienādotu 5x un 3x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 3, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 5.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\times 12,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 4$$

Vienkāršojiet.

$$15x+6y=36,15x-10y=20$$

Atņemiet 15x-10y=20 no 15x+6y=36 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$15x-15x+6y+10y=36-20$$

Pieskaitiet 15x pie -15x. Locekļus 15x un -15x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$6y+10y=36-20$$

Pieskaitiet 6y pie 10y.

$$16y=36-20$$

Pieskaitiet 36 pie -20.

$$16y=16$$

Daliet abas puses ar 16.

$$y=1$$

Aizvietojiet y ar 1 vienādojumā 3x-2y=4. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$3x-2=4$$

Pieskaitiet 2 abās vienādojuma pusēs.

$$3x=6$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=1$$