Atrisiniet 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Atrast y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar -90 un c ar 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Kāpiniet -90 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 8100 pie -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Skaitļa -90 pretstats ir 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 90 pie 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Daliet 90+6\sqrt{195} ar 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Tagad atrisiniet vienādojumu y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 6\sqrt{195} no 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Daliet 90-6\sqrt{195} ar 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Atņemiet 54 no vienādojuma abām pusēm.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Atņemot 54 no sevis, paliek 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Daliet -90 ar 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu -18 ar 2, lai iegūtu -9. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -9 kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Kāpiniet -9 kvadrātā.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Pieskaitiet -\frac{54}{5} pie 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-18y+81. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Vienkāršojiet.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Pieskaitiet 9 abās vienādojuma pusēs.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$