Atrisiniet 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Atrast x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 5x^{2}+ax+bx-2184. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -1.

$$a=-105 b=104$$

Pārrakstiet 5x^{2}-x-2184 kā \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Sadaliet 5x pirmo un 104 otrajā grupā.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju x-21 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-21=0 un 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar -1 un c ar -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 1 pie 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Skaitļa -1 pretstats ir 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{1±209}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 1 pie 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Daliet 210 ar 10.

$$x=21$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{1±209}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 209 no 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-208}{10} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Pieskaitiet 2184 abās vienādojuma pusēs.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Atņemot -2184 no sevis, paliek 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Atņemiet -2184 no 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{1}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{10}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{10} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{10}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Pieskaitiet \frac{2184}{5} pie \frac{1}{100}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Pieskaitiet \frac{1}{10} abās vienādojuma pusēs.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$