Atrisiniet 5x^2-4x+16=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+16=0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5}\approx 0,4+1,743559577i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}\approx 0,4-1,743559577i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5x^{2}-4x+16=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar -4 un c ar 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 16}}{2\times 5}$$

Kāpiniet -4 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 16}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 16}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz 16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-320}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 16 pie -320.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-304}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -304.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{19}i}{2\times 5}$$

Skaitļa -4 pretstats ir 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 4 pie 4i\sqrt{19}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{19}i}{10}$$

Daliet 4+4i\sqrt{19} ar 10.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{4±4\sqrt{19}i}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4i\sqrt{19} no 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}i+4}{10}$$

Daliet 4-4i\sqrt{19} ar 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+16=0$$

Atņemiet 16 no vienādojuma abām pusēm.

$$5x^{2}-4x+16-16=-16$$

Atņemot 16 no sevis, paliek 0.

$$5x^{2}-4x=-16$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{16}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{16}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{4}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{2}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{2}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{2}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{16}{5}+\frac{4}{25}$$

Pieskaitiet -\frac{16}{5} pie \frac{4}{25}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{76}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{76}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{76}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{2\sqrt{19}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{2\sqrt{19}i}{5}$$

Pieskaitiet \frac{2}{5} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{2+2\sqrt{19}i}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}i+2}{5}$$