Atrisiniet 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Atrast x

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar -48 un c ar 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Kāpiniet -48 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 2304 pie -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Skaitļa -48 pretstats ir 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 48 pie 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Daliet 48+4\sqrt{119} ar 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 4\sqrt{119} no 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Daliet 48-4\sqrt{119} ar 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Atņemiet 20 no vienādojuma abām pusēm.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Atņemot 20 no sevis, paliek 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Daliet -20 ar 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{48}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{24}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{24}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{24}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Pieskaitiet -4 pie \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Pieskaitiet \frac{24}{5} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$