Atrisiniet 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Atrast x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 5x^{2}+ax+bx-42. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretējas pazīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvajam skaitlim ir lielāka absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -29.

$$a=-35 b=6$$

Pārrakstiet 5x^{2}-29x-42 kā \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 5x pirmajā grupā, bet 6 otrajā grupā.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli x-7, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet x-7=0 un 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar -29 un c ar -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Kāpiniet -29 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 841 pie 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Skaitļa -29 pretstats ir 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{29±41}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 29 pie 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Daliet 70 ar 10.

$$x=7$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{29±41}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 41 no 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-12}{10} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Pieskaitiet 42 abās vienādojuma pusēs.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Atņemot -42 no sevis, paliek 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Atņemiet -42 no 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{29}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{29}{10}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{29}{10} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{29}{10}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Pieskaitiet \frac{42}{5} pie \frac{841}{100}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Pieskaitiet \frac{29}{10} abās vienādojuma pusēs.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$