Atrisiniet 5x^2-16x-185=0

$$5 { x }^{ 2 } -16x-185 = 0$$

Atrast x

$$x = \frac{\sqrt{989} + 8}{5} \approx 7,889674077$$

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}\approx -4,689674077$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar -16 un c ar -185.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Kāpiniet -16 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-20\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz -185.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+3700}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 256 pie 3700.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{3956}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 3956.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Skaitļa -16 pretstats ir 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 16 pie 2\sqrt{989}.

$$x=\frac{2\sqrt{989}+16}{10}$$

Daliet 16+2\sqrt{989} ar 10.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 2\sqrt{989} no 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{989}}{10}$$

Daliet 16-2\sqrt{989} ar 10.

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Pieskaitiet 185 abās vienādojuma pusēs.

$$5x^{2}-16x-185-\left(-185\right)=-\left(-185\right)$$

Atņemot -185 no sevis, paliek 0.

$$5x^{2}-16x=-\left(-185\right)$$

Atņemiet -185 no 0.

$$5x^{2}-16x=185$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}-16x}{5}=\frac{185}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=\frac{185}{5}$$

Daliet 185 ar 5.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=37$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{16}{5} ar 2, lai iegūtu -\frac{8}{5}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{8}{5} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}=37+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{8}{5}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=37+\frac{64}{25}$$

Pieskaitiet 37 pie \frac{64}{25}.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{989}{25}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{989}{25}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{989}{25}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{8}{5}=\frac{\sqrt{989}}{5} x-\frac{8}{5}=-\frac{\sqrt{989}}{5}$$

Pieskaitiet \frac{8}{5} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$