Atrisiniet 5x^2+15x=12x-13

$$5 { x }^{ 2 } +15x=12x-13$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10}\approx -0,3+1,584297952i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}\approx -0,3-1,584297952i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Atņemiet 12x no abām pusēm.

$$5x^{2}+15x-12x=-13$$

Savelciet 15x un -12x, lai iegūtu 3x.

$$5x^{2}+3x=-13$$

Pievienot 13 abās pusēs.

$$5x^{2}+3x+13=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 5, b ar 3 un c ar 13.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\times 13}}{2\times 5}$$

Kāpiniet 3 kvadrātā.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\times 13}}{2\times 5}$$

Reiziniet -4 reiz 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\times 13}}{2\times 5}$$

Reiziniet -20 reiz 13.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-260}}{2\times 5}$$

Pieskaitiet 9 pie -260.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-251}}{2\times 5}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -251.

$$x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{2\times 5}$$

Reiziniet 2 reiz 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -3 pie i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-3±\sqrt{251}i}{10}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet i\sqrt{251} no -3.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10} x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Atņemiet 12x no abām pusēm.

$$5x^{2}+15x-12x=-13$$

Savelciet 15x un -12x, lai iegūtu 3x.

$$5x^{2}+3x=-13$$

Daliet abas puses ar 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{13}{5}$$

Dalīšana ar 5 atsauc reizināšanu ar 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{13}{5}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{3}{5} ar 2, lai iegūtu \frac{3}{10}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{3}{10} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{13}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{3}{10}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{13}{5}+\frac{9}{100}$$

Pieskaitiet -\frac{13}{5} pie \frac{9}{100}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{251}{100}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{251}{100}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{100}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{251}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{251}i}{10}$$

Atņemiet \frac{3}{10} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-3+\sqrt{251}i}{10} x=\frac{-\sqrt{251}i-3}{10}$$