Atrisiniet 49x^2-84x+36=0

$$49 x ^ { 2 } - 84 x + 36 = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{6}{7}\approx 0,857142857$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$49x^{2}-84x+36=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 49, b ar -84 un c ar 36.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{\left(-84\right)^{2}-4\times 49\times 36}}{2\times 49}$$

Kāpiniet -84 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-4\times 49\times 36}}{2\times 49}$$

Reiziniet -4 reiz 49.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-196\times 36}}{2\times 49}$$

Reiziniet -196 reiz 36.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{7056-7056}}{2\times 49}$$

Pieskaitiet 7056 pie -7056.

$$x=\frac{-\left(-84\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$x=-\frac{-84}{2\times 49}$$

Skaitļa -84 pretstats ir 84.

$$x=\frac{84}{2\times 49}$$

Reiziniet 2 reiz 49.

$$x=\frac{84}{98}$$

Vienādot daļskaitli \frac{84}{98} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 14.

$$x=\frac{6}{7}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-84x+36=0$$

Atņemiet 36 no vienādojuma abām pusēm.

$$49x^{2}-84x+36-36=-36$$

Atņemot 36 no sevis, paliek 0.

$$49x^{2}-84x=-36$$

Daliet abas puses ar 49.

$$\frac{49x^{2}-84x}{49}=-\frac{36}{49}$$

Dalīšana ar 49 atsauc reizināšanu ar 49.

$$x^{2}+\left(-\frac{84}{49}\right)x=-\frac{36}{49}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-84}{49} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{36}{49}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{12}{7} ar 2, lai iegūtu -\frac{6}{7}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{6}{7} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{36}{49}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{6}{7}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=\frac{-36+36}{49}$$

Pieskaitiet -\frac{36}{49} pie \frac{36}{49}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=0$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{6}{7}=0 x-\frac{6}{7}=0$$

Pieskaitiet \frac{6}{7} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{6}{7} x=\frac{6}{7}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$x=\frac{6}{7}$$