Atrisiniet 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 49, b ar 30 un c ar 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Kāpiniet 30 kvadrātā.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Reiziniet -4 reiz 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Reiziniet -196 reiz 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Pieskaitiet 900 pie -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Reiziniet 2 reiz 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -30 pie 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Daliet -30+20i\sqrt{10} ar 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 20i\sqrt{10} no -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Daliet -30-20i\sqrt{10} ar 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Atņemiet 25 no vienādojuma abām pusēm.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Atņemot 25 no sevis, paliek 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Daliet abas puses ar 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Dalīšana ar 49 atsauc reizināšanu ar 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Daliet locekļa x koeficientu \frac{30}{49} ar 2, lai iegūtu \frac{15}{49}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{15}{49} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{15}{49}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Pieskaitiet -\frac{25}{49} pie \frac{225}{2401}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Vienkāršojiet.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Atņemiet \frac{15}{49} no vienādojuma abām pusēm.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$