Atrisiniet 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Atrast t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Daliet abas puses ar 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā t^{2}+at+bt-4. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -4.

$$1,-4 2,-2$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -3.

$$a=-4 b=1$$

Pārrakstiet t^{2}-3t-4 kā \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Iznesiet reizinātāju t pirms iekavām izteiksmē t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Iznesiet kopējo reizinātāju t-4 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet t-4=0 un t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 49, b ar -147 un c ar -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Kāpiniet -147 kvadrātā.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Reiziniet -4 reiz 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Reiziniet -196 reiz -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Pieskaitiet 21609 pie 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Skaitļa -147 pretstats ir 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Reiziniet 2 reiz 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{147±245}{98}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 147 pie 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Daliet 392 ar 98.

$$t=4$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{147±245}{98}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 245 no 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Daliet -98 ar 98.

$$t=-1$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$t=4 t=-1$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Pieskaitiet 196 abās vienādojuma pusēs.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Atņemot -196 no sevis, paliek 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Atņemiet -196 no 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Daliet abas puses ar 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Dalīšana ar 49 atsauc reizināšanu ar 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Daliet -147 ar 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Daliet 196 ar 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Daliet locekļa x koeficientu -3 ar 2, lai iegūtu -\frac{3}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{3}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{3}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Pieskaitiet 4 pie \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Sadaliet reizinātājos t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Pieskaitiet \frac{3}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$t=4 t=-1$$