Atrisiniet 45(p^2-1)=56p

$$45 ( p ^ { 2 } - 1 ) = 56 p$$

Atrast p

$$p=-\frac{5}{9}\approx -0,555555556$$

$$p = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1,8$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 45 ar p^{2}-1.

$$45p^{2}-45=56p$$

Atņemiet 56p no abām pusēm.

$$45p^{2}-45-56p=0$$

Pārkārtojiet polinomu, lai tas būtu standarta formā. Sakārtojiet locekļus secībā no lielākās līdz mazākajai pakāpei.

$$45p^{2}-56p-45=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 45p^{2}+ap+bp-45. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-56 ab=45\left(-45\right)=-2025$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -2025.

$$1,-2025 3,-675 5,-405 9,-225 15,-135 25,-81 27,-75 45,-45$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-2025=-2024 3-675=-672 5-405=-400 9-225=-216 15-135=-120 25-81=-56 27-75=-48 45-45=0$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -56.

$$a=-81 b=25$$

Pārrakstiet 45p^{2}-56p-45 kā \left(45p^{2}-81p\right)+\left(25p-45\right).

$$\left(45p^{2}-81p\right)+\left(25p-45\right)$$

Sadaliet 9p pirmo un 5 otrajā grupā.

$$9p\left(5p-9\right)+5\left(5p-9\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 5p-9 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(5p-9\right)\left(9p+5\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 5p-9=0 un 9p+5=0.

$$p=\frac{9}{5} p=-\frac{5}{9}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 45 ar p^{2}-1.

$$45p^{2}-45=56p$$

Atņemiet 56p no abām pusēm.

$$45p^{2}-45-56p=0$$

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$45p^{2}-56p-45=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 45, b ar -56 un c ar -45.

$$p=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 45\left(-45\right)}}{2\times 45}$$

Kāpiniet -56 kvadrātā.

$$p=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 45\left(-45\right)}}{2\times 45}$$

Reiziniet -4 reiz 45.

$$p=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-180\left(-45\right)}}{2\times 45}$$

Reiziniet -180 reiz -45.

$$p=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+8100}}{2\times 45}$$

Pieskaitiet 3136 pie 8100.

$$p=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{11236}}{2\times 45}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 11236.

$$p=\frac{-\left(-56\right)±106}{2\times 45}$$

Skaitļa -56 pretstats ir 56.

$$p=\frac{56±106}{2\times 45}$$

Reiziniet 2 reiz 45.

$$p=\frac{56±106}{90}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu p=\frac{56±106}{90}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 56 pie 106.

$$p=\frac{162}{90}$$

Vienādot daļskaitli \frac{162}{90} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 18.

$$p=\frac{9}{5}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu p=\frac{56±106}{90}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 106 no 56.

$$p=-\frac{50}{90}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-50}{90} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 10.

$$p=-\frac{5}{9}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$p=\frac{9}{5} p=-\frac{5}{9}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 45 ar p^{2}-1.

$$45p^{2}-45=56p$$

Atņemiet 56p no abām pusēm.

$$45p^{2}-45-56p=0$$

Pievienot 45 abās pusēs. Jebkuram skaitlim pieskaitot nulli, iegūst to pašu skaitli.

$$45p^{2}-56p=45$$

Daliet abas puses ar 45.

$$\frac{45p^{2}-56p}{45}=\frac{45}{45}$$

Dalīšana ar 45 atsauc reizināšanu ar 45.

$$p^{2}-\frac{56}{45}p=\frac{45}{45}$$

Daliet 45 ar 45.

$$p^{2}-\frac{56}{45}p=1$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{56}{45} ar 2, lai iegūtu -\frac{28}{45}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{28}{45} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$p^{2}-\frac{56}{45}p+\left(-\frac{28}{45}\right)^{2}=1+\left(-\frac{28}{45}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{28}{45}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$p^{2}-\frac{56}{45}p+\frac{784}{2025}=1+\frac{784}{2025}$$

Pieskaitiet 1 pie \frac{784}{2025}.

$$p^{2}-\frac{56}{45}p+\frac{784}{2025}=\frac{2809}{2025}$$

Sadaliet reizinātājos p^{2}-\frac{56}{45}p+\frac{784}{2025}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{28}{45}\right)^{2}=\frac{2809}{2025}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(p-\frac{28}{45}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{2025}}$$

Vienkāršojiet.

$$p-\frac{28}{45}=\frac{53}{45} p-\frac{28}{45}=-\frac{53}{45}$$

Pieskaitiet \frac{28}{45} abās vienādojuma pusēs.

$$p=\frac{9}{5} p=-\frac{5}{9}$$