Atrisiniet 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Atrast x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 42x^{2}+ax+bx-3. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Tā kā ab ir negatīvs, a un b ir pretstats zīmes. Tā kā a+b ir negatīvs, negatīvs skaitlis ir lielāks absolūtā vērtība nekā pozitīvs. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -5.

$$a=-14 b=9$$

Pārrakstiet 42x^{2}-5x-3 kā \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Sadaliet 14x pirmo un 3 otrajā grupā.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 3x-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Lai atrastu vienādojumu risinājumus, atrisiniet 3x-1=0 un 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 42, b ar -5 un c ar -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Kāpiniet -5 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Reiziniet -4 reiz 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Reiziniet -168 reiz -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Pieskaitiet 25 pie 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Skaitļa -5 pretstats ir 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Reiziniet 2 reiz 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±23}{84}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 5 pie 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Vienādot daļskaitli \frac{28}{84} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{5±23}{84}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 23 no 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-18}{84} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Pieskaitiet 3 abās vienādojuma pusēs.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Atņemot -3 no sevis, paliek 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Atņemiet -3 no 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Daliet abas puses ar 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Dalīšana ar 42 atsauc reizināšanu ar 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Vienādot daļskaitli \frac{3}{42} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{5}{42} ar 2, lai iegūtu -\frac{5}{84}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{5}{84} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{5}{84}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Pieskaitiet \frac{1}{14} pie \frac{25}{7056}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Pieskaitiet \frac{5}{84} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$