Atrisiniet 42t^2-91t+42=0

$$42 t ^ { 2 } - 91 t + 42 = 0$$

Atrast t

$$t=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$42t^{2}-91t+42=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 42, b ar -91 un c ar 42.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{\left(-91\right)^{2}-4\times 42\times 42}}{2\times 42}$$

Kāpiniet -91 kvadrātā.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-4\times 42\times 42}}{2\times 42}$$

Reiziniet -4 reiz 42.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-168\times 42}}{2\times 42}$$

Reiziniet -168 reiz 42.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{8281-7056}}{2\times 42}$$

Pieskaitiet 8281 pie -7056.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±\sqrt{1225}}{2\times 42}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 1225.

$$t=\frac{-\left(-91\right)±35}{2\times 42}$$

Skaitļa -91 pretstats ir 91.

$$t=\frac{91±35}{2\times 42}$$

Reiziniet 2 reiz 42.

$$t=\frac{91±35}{84}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{91±35}{84}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 91 pie 35.

$$t=\frac{126}{84}$$

Vienādot daļskaitli \frac{126}{84} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 42.

$$t=\frac{3}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu t=\frac{91±35}{84}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 35 no 91.

$$t=\frac{56}{84}$$

Vienādot daļskaitli \frac{56}{84} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 28.

$$t=\frac{2}{3}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$t=\frac{3}{2} t=\frac{2}{3}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$42t^{2}-91t+42=0$$

Atņemiet 42 no vienādojuma abām pusēm.

$$42t^{2}-91t+42-42=-42$$

Atņemot 42 no sevis, paliek 0.

$$42t^{2}-91t=-42$$

Daliet abas puses ar 42.

$$\frac{42t^{2}-91t}{42}=-\frac{42}{42}$$

Dalīšana ar 42 atsauc reizināšanu ar 42.

$$t^{2}+\left(-\frac{91}{42}\right)t=-\frac{42}{42}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-91}{42} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 7.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t=-\frac{42}{42}$$

Daliet -42 ar 42.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t=-1$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{13}{6} ar 2, lai iegūtu -\frac{13}{12}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{13}{12} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{13}{12}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}=-1+\frac{169}{144}$$

Pieskaitiet -1 pie \frac{169}{144}.

$$t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}=\frac{25}{144}$$

Sadaliet reizinātājos t^{2}-\frac{13}{6}t+\frac{169}{144}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(t-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Vienkāršojiet.

$$t-\frac{13}{12}=\frac{5}{12} t-\frac{13}{12}=-\frac{5}{12}$$

Pieskaitiet \frac{13}{12} abās vienādojuma pusēs.

$$t=\frac{3}{2} t=\frac{2}{3}$$