Atrisiniet 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Atrast z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4z^{2}+60z=800$$

Atņemiet 800 no vienādojuma abām pusēm.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Atņemot 800 no sevis, paliek 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar 60 un c ar -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Kāpiniet 60 kvadrātā.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 3600 pie 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet -60 pie 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Daliet -60+20\sqrt{41} ar 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet 20\sqrt{41} no -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Daliet -60-20\sqrt{41} ar 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Daliet 60 ar 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Daliet 800 ar 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Daliet locekļa x koeficientu 15 ar 2, lai iegūtu \frac{15}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet \frac{15}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā \frac{15}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Pieskaitiet 200 pie \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Sadaliet reizinātājos z^{2}+15z+\frac{225}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Vienkāršojiet.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Atņemiet \frac{15}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$