Atrisiniet 4y(y-1)+1=0

$$4 y ( y - 1 ) + 1 = 0$$

Atrast y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4y ar y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Lai atrisinātu vienādojumu, sadaliet kreisās puses līdzās pēc grupēšanas. Vispirms, kreisajā malā ir jābūt pārrakstītajiem kā 4y^{2}+ay+by+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmas atrisināt.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvas. Uzskaitiet visus tādu veselo skaitļu pārus, kas sniedz produktu 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -4.

$$a=-2 b=-2$$

Pārrakstiet 4y^{2}-4y+1 kā \left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right).

$$\left(4y^{2}-2y\right)+\left(-2y+1\right)$$

Sadaliet 2y pirmo un -1 otrajā grupā.

$$2y\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)$$

Iznesiet kopējo reizinātāju 2y-1 pirms iekavām, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(2y-1\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet 2y-1=0.

$$y=\frac{1}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4y ar y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -4 un c ar 1.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -4 kvadrātā.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 16 pie -16.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$y=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Skaitļa -4 pretstats ir 4.

$$y=\frac{4}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$y=\frac{4}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{4}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$y=\frac{1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Izmantojiet distributīvo īpašību, lai reizinātu 4y ar y-1.

$$4y^{2}-4y+1=0$$

Atņemiet 1 no abām pusēm. Atņemot nu nulles jebko, iegūst tā noliegumu.

$$4y^{2}-4y=-1$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=-\frac{1}{4}$$

Daliet -4 ar 4.

$$y^{2}-y=-\frac{1}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{4} pie \frac{1}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=0$$

Sadaliet reizinātājos y^{2}-y+\frac{1}{4}. Kopumā, kad x^{2}+bx+c ir ideālā kvadrātā, to vienmēr var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$y-\frac{1}{2}=0 y-\frac{1}{2}=0$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$y=\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$y=\frac{1}{2}$$