Atrisiniet 4x-y-10=0;3x+5y-19=0

$$4 x - y - 10 = 0 ; 3 x + 5 y - 19 = 0$$

Atrast x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x-y-10=0$$

Pieskaitiet 10 abās vienādojuma pusēs.

$$4x-y=10$$

Pieskaitiet y abās vienādojuma pusēs.

$$4x=y+10$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz y+10.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

Ar \frac{y}{4}+\frac{5}{2} aizvietojiet x otrā vienādojumā 3x+5y-19=0.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+5y-19=0$$

Reiziniet 3 reiz \frac{y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+5y-19=0$$

Pieskaitiet \frac{3y}{4} pie 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{15}{2}-19=0$$

Pieskaitiet \frac{15}{2} pie -19.

$$\frac{23}{4}y-\frac{23}{2}=0$$

Pieskaitiet \frac{23}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$\frac{23}{4}y=\frac{23}{2}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{23}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 2.

$$x=\frac{1+5}{2}$$

Pieskaitiet \frac{5}{2} pie \frac{1}{2}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=3,y=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{3}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\19\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 10+\frac{1}{23}\times 19\\-\frac{3}{23}\times 10+\frac{4}{23}\times 19\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=3,y=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-y-10=0,3x+5y-19=0$$

Lai vienādotu 4x un 3x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 3, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 5y+4\left(-19\right)=0$$

Vienkāršojiet.

$$12x-3y-30=0,12x+20y-76=0$$

Atņemiet 12x+20y-76=0 no 12x-3y-30=0 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$12x-12x-3y-20y-30+76=0$$

Pieskaitiet 12x pie -12x. Locekļus 12x un -12x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-3y-20y-30+76=0$$

Pieskaitiet -3y pie -20y.

$$-23y-30+76=0$$

Pieskaitiet -30 pie 76.

$$-23y+46=0$$

Atņemiet 46 no vienādojuma abām pusēm.

$$-23y=-46$$

Daliet abas puses ar -23.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā 3x+5y-19=0. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$3x+5\times 2-19=0$$

Reiziniet 5 reiz 2.

$$3x+10-19=0$$

Pieskaitiet 10 pie -19.

$$3x-9=0$$

Pieskaitiet 9 abās vienādojuma pusēs.

$$3x=9$$

Daliet abas puses ar 3.

$$x=3$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=3,y=2$$