Atrisiniet 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Atrast x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x-y=5$$

Pieskaitiet y abās vienādojuma pusēs.

$$4x=y+5$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Ar \frac{5+y}{4} aizvietojiet x otrā vienādojumā -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Reiziniet -4 reiz \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Pieskaitiet -y pie 5y.

$$4y-5=7$$

Pieskaitiet 5 abās vienādojuma pusēs.

$$4y=12$$

Daliet abas puses ar 4.

$$y=3$$

Aizvietojiet y ar 3 vienādojumā x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Pieskaitiet \frac{5}{4} pie \frac{3}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=3$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=2,y=3$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Lai vienādotu 4x un -4x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar -4, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Vienkāršojiet.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Atņemiet -16x+20y=28 no -16x+4y=-20 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Pieskaitiet -16x pie 16x. Locekļus -16x un 16x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$4y-20y=-20-28$$

Pieskaitiet 4y pie -20y.

$$-16y=-20-28$$

Pieskaitiet -20 pie -28.

$$-16y=-48$$

Daliet abas puses ar -16.

$$y=3$$

Aizvietojiet y ar 3 vienādojumā -4x+5y=7. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$-4x+5\times 3=7$$

Reiziniet 5 reiz 3.

$$-4x+15=7$$

Atņemiet 15 no vienādojuma abām pusēm.

$$-4x=-8$$

Daliet abas puses ar -4.

$$x=2$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=2,y=3$$