Atrisiniet 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Atrast x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x-5y=2$$

Pieskaitiet 5y abās vienādojuma pusēs.

$$4x=5y+2$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ar \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} aizvietojiet x otrā vienādojumā x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Pieskaitiet \frac{5y}{4} pie 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Atņemiet \frac{1}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{45}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=\frac{18}{5}$$

Aizvietojiet y ar \frac{18}{5} vienādojumā x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Reiziniet \frac{5}{4} ar \frac{18}{5}, reizinot skaitītāju ar skaitītāju un saucēju ar saucēju. Pēc tam, ja iespējams, samaziniet daļskaitli līdz mazākajam loceklim.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} pie \frac{9}{2}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Lai vienādotu 4x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Vienkāršojiet.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Atņemiet 4x+40y=164 no 4x-5y=2 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Pieskaitiet 4x pie -4x. Locekļus 4x un -4x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-5y-40y=2-164$$

Pieskaitiet -5y pie -40y.

$$-45y=2-164$$

Pieskaitiet 2 pie -164.

$$-45y=-162$$

Daliet abas puses ar -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Aizvietojiet y ar \frac{18}{5} vienādojumā x+10y=41. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Reiziniet 10 reiz \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Atņemiet 36 no vienādojuma abām pusēm.

$$x=5$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$