Atrisiniet 4x-5y=-14text{and}7x+y=-5

$$4 x - 5 y = - 14 \text { and } 7 x + y = - 5$$

Atrast x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x-5y=-14$$

Pieskaitiet 5y abās vienādojuma pusēs.

$$4x=5y-14$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-14\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 5y-14.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}$$

Ar \frac{5y}{4}-\frac{7}{2} aizvietojiet x otrā vienādojumā 7x+y=-5.

$$7\left(\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}\right)+y=-5$$

Reiziniet 7 reiz \frac{5y}{4}-\frac{7}{2}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{49}{2}+y=-5$$

Pieskaitiet \frac{35y}{4} pie y.

$$\frac{39}{4}y-\frac{49}{2}=-5$$

Pieskaitiet \frac{49}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$\frac{39}{4}y=\frac{39}{2}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{39}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā x=\frac{5}{4}y-\frac{7}{2}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{5}{4}\times 2-\frac{7}{2}$$

Reiziniet \frac{5}{4} reiz 2.

$$x=\frac{5-7}{2}$$

Pieskaitiet -\frac{7}{2} pie \frac{5}{2}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=2$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{7}{39}&\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{39}\left(-14\right)+\frac{5}{39}\left(-5\right)\\-\frac{7}{39}\left(-14\right)+\frac{4}{39}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-1,y=2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-5y=-14,7x+y=-5$$

Lai vienādotu 4x un 7x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 7, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\left(-14\right),4\times 7x+4y=4\left(-5\right)$$

Vienkāršojiet.

$$28x-35y=-98,28x+4y=-20$$

Atņemiet 28x+4y=-20 no 28x-35y=-98 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$28x-28x-35y-4y=-98+20$$

Pieskaitiet 28x pie -28x. Locekļus 28x un -28x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-35y-4y=-98+20$$

Pieskaitiet -35y pie -4y.

$$-39y=-98+20$$

Pieskaitiet -98 pie 20.

$$-39y=-78$$

Daliet abas puses ar -39.

$$y=2$$

Aizvietojiet y ar 2 vienādojumā 7x+y=-5. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$7x+2=-5$$

Atņemiet 2 no vienādojuma abām pusēm.

$$7x=-7$$

Daliet abas puses ar 7.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=2$$