Atrisiniet 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Atrast x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Darbības, izmantojot aizvietošanu

Lai atrisinātu pāris vienādojumu, izmantojot aizvietošanu, vispirms atrisiniet vienu no vienādojumiem, izsakot vienu no mainīgajiem. Pēc tam ar rezultātu aizvietojiet šo mainīgo otrā vienādojumā.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Izvēlieties vienu no vienādojumiem, izsakiet x, izolējot x pa kreisi no vienādības zīmes.

$$4x-3y=2$$

Pieskaitiet 3y abās vienādojuma pusēs.

$$4x=3y+2$$

Daliet abas puses ar 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Reiziniet \frac{1}{4} reiz 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Ar \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} aizvietojiet x otrā vienādojumā x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Pieskaitiet \frac{3y}{4} pie 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Atņemiet \frac{1}{2} no vienādojuma abām pusēm.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Daliet abas vienādojuma puses ar \frac{23}{4}, kas ir tas pats, kas reizināt abas puses ar apgriezto daļskaitli.

$$y=-2$$

Aizvietojiet y ar -2 vienādojumā x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Reiziniet \frac{3}{4} reiz -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} pie -\frac{3}{2}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=-2$$

Darbības, izmantojot matricas

Uzrakstiet vienādojumus standarta formā un pēc tam izmantojiet matricas, lai atrisinātu vienādojumu sistēmu.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Uzrakstiet vienādojumu matricas formā.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Atlicis sareizināt vienādojumu ar apgriezto matricu \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Matricas un tās apgrieztās matricas reizinājums ir identitātes matrica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas kreisajā vienādības zīmes pusē.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 matricas \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) inversā matrica ir \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), tāpēc matricas vienādojumu var uzrakstīt kā matricas reizināšanas uzdevumu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiziniet matricas.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Veiciet aritmētiskās darbības.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Izvelciet matricas elementus x un y.

$$x=-1,y=-2$$

Darbības, izmantojot izslēgšanu

Lai atrisinātu saīsinot, viena mainīgā koeficientiem jābūt vienādiem abos vienādojumos, tad mainīgie saīsinās, kad vienu vienādojumu atņem no otra.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Lai vienādotu 4x un x, reiziniet visus locekļus pirmā vienādojuma abās pusēs ar 1, un visus locekļus otrā vienādojuma abās pusēs ar 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Vienkāršojiet.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Atņemiet 4x+20y=-44 no 4x-3y=2 , atņemot līdzīgos locekļus abās vienādības zīmes pusēs.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Pieskaitiet 4x pie -4x. Locekļus 4x un -4x saīsina, atstājot vienādojumu ar tikai vienu mainīgo, kuru var atrisināt.

$$-3y-20y=2+44$$

Pieskaitiet -3y pie -20y.

$$-23y=2+44$$

Pieskaitiet 2 pie 44.

$$-23y=46$$

Daliet abas puses ar -23.

$$y=-2$$

Aizvietojiet y ar -2 vienādojumā x+5y=-11. Tā kā iegūtajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais, varat tūlīt iegūt x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Reiziniet 5 reiz -2.

$$x-10=-11$$

Pieskaitiet 10 abās vienādojuma pusēs.

$$x=-1$$

Sistēma tagad ir atrisināta.

$$x=-1,y=-2$$