Atrisiniet 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Atrast x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Darbības, izmantojot sadalīšanu reizinātājos grupējot

Lai atrisinātu vienādojumu, kreiso pusi sadaliet reizinātājos grupējot. Vispirms kreisā puse ir jāpārraksta kā 4x^{2}+ax+bx+1. Lai atrastu a un b, iestatiet sistēmu, kas ir jāatrisina.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Tā kā ab ir pozitīvs, a un b ir viena zīme. Tā kā a+b ir negatīvs, a un b ir negatīvs. Uzskaitiet visus šos veselo skaitļu pārus, kas nodrošina produktu 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Aprēķināt katra pāra summu.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Risinājums ir pāris, kas dod summu -4.

$$a=-2 b=-2$$

Pārrakstiet 4x^{2}-4x+1 kā \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Iznesiet pirms iekavām reizinātāju 2x pirmajā grupā, bet -1 otrajā grupā.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Iznesiet pirms iekavām kopīgo locekli 2x-1, izmantojot distributīvo īpašību.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Pārveidojiet par binoma kvadrātu.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Lai atrisinātu vienādojumu, atrisiniet 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -4 un c ar 1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -4 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 16 pie -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Skaitļa -4 pretstats ir 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Vienādot daļskaitli \frac{4}{8} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Atņemiet 1 no vienādojuma abām pusēm.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Atņemot 1 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Daliet -4 ar 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Daliet locekļa x koeficientu -1 ar 2, lai iegūtu -\frac{1}{2}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{1}{2} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{1}{2}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Pieskaitiet -\frac{1}{4} pie \frac{1}{4}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-x+\frac{1}{4}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Pieskaitiet \frac{1}{2} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts. Risinājumi ir tie paši.

$$x=\frac{1}{2}$$