Atrisiniet 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Atrast x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Darbības, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu

Visus ax^{2}+bx+c=0 veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ar šo kvadrātvienādojuma sakņu formulu iegūst divus atrisinājumus — vienu, kad ± ir saskaitīšana, bet otru, kad tā ir atņemšana.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Atņemiet 16 no vienādojuma abām pusēm.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Atņemot 16 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Atņemiet 16 no 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Šis vienādojums ir standarta formā: ax^{2}+bx+c=0. Kvadrātvienādojuma sakņu formulā \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} aizvietojiet a ar 4, b ar -11 un c ar 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Kāpiniet -11 kvadrātā.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Reiziniet -4 reiz 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Reiziniet -16 reiz 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Pieskaitiet 121 pie -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Izvelciet kvadrātsakni no -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Skaitļa -11 pretstats ir 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Reiziniet 2 reiz 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, ja ± ir pluss. Pieskaitiet 11 pie i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Tagad atrisiniet vienādojumu x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, ja ± ir mīnuss. Atņemiet i\sqrt{103} no 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Vienādojums tagad ir atrisināts.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Darbības, kas jāveic, lai iegūtu pilno kvadrātu

Tādus kvadrātiskos vienādojumus kā šis var atrisināt, papildinot vienādojumu, līdz tas ir pilnais kvadrātvienādojums. Lai tas būtu pilnais kvadrātvienādojums, vispirms vienādojumam ir jābūt šādā formātā x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Atņemiet 30 no vienādojuma abām pusēm.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Atņemot 30 no sevis, paliek 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Atņemiet 30 no 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Daliet abas puses ar 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Dalīšana ar 4 atsauc reizināšanu ar 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Vienādot daļskaitli \frac{-14}{4} līdz mazākajam loceklim, izvelkot un saīsinot 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Daliet locekļa x koeficientu -\frac{11}{4} ar 2, lai iegūtu -\frac{11}{8}. Pēc tam abām vienādojuma pusēm pieskaitiet -\frac{11}{8} kvadrātā. Ar šo darbību vienādojuma kreisā puse kļūst par pilnu kvadrātu.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Kāpiniet kvadrātā -\frac{11}{8}, kāpinot kvadrātā gan daļas skaitītāju, gan saucēju.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Pieskaitiet -\frac{7}{2} pie \frac{121}{64}, atrodot kopsaucēju un saskaitot kopā skaitītājus. Pēc tam, ja iespējams, saīsiniet daļskaitli līdz mazākajiem locekļiem.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Sadaliet reizinātājos x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. Parasti, kad x^{2}+bx+c ir pilns kvadrāts, to vienmēr to var sadalīt reizinātājos kā \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Izvelciet abu vienādojuma pušu kvadrātsakni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Vienkāršojiet.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Pieskaitiet \frac{11}{8} abās vienādojuma pusēs.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$